BEISPIEL Rechnen mit der 2. binomischen Formel

Schauen wir uns ein praktisches Beispiel an.

Wir müssen (5x 7z)² berechnen.

Die allgemeine Formel ist grün, unser besonderer Term ist rot geschrieben.


Zuerst überlegen wir, welche der 3 binomischen Formeln wir hier nehmen müssen.

(3x 4z)² hat ein Minus zwischen den beiden Termen.

Wir müssen hier die 2. binomische Formel nehmen,
also a² – 2ab + b²


Durchrechnen

5x entspricht hier dem „a“ unserer 1. binomischen Formel


Die 7z entsprechen dem „b“ unserer 1. binomischen Formel.
(a – b)² = a² + 2ab + b²

Wenn wir jetzt für das „a“ in der 2. binomischen Formel 3x und für das „b“ 4z einsetzen, erhalten wir folgende Formel…

…..die ausmultipliziert dieses Ergebnis liefert;


Zu schnell? hier nochmal langsam zum Mitdenken
Du hast 5x + 7z)², das entspricht (a – b)²


 (5x – 7z)² =
Das heißt mein 5x ist mein a (von der allgemeinen Formel a+b, also mein a² ist (5x)², also fünf mal fünf mal x mal x, oder 5²x² oder 25x²

Das kann man schon hinschreiben.


25x²
Jetzt kommt nach der Formel ein Minus (weil es heißt ja minus 2ab)


25x² –
und jetzt kommt 2 mal a mal b, das heißt in unserem Fall:

2 mal 5x mal 7z

Also: 2 mal 5 ist 10, mal 7 ist 70 mal x mal z ist 70xz


25x² – 70xz
Und jetzt nach der Formel noch plus b², also zuerst gleich das Plus hinschreiben


25x² – 70xz +
Und natürlich noch das b², bei unserer Rechnung ist es das (7z)².

7 mal 7 ist 49, z mal z ist z², daher 49z²


25x² – 70xz + 49z²
(5x – 7z)² = 25x² – 70xz + 49z²


FERTIG!!

Jetzt das Ganze nochmal schnell:

(5x – 7z)² =


5 zum Quadrat ist 25 und x zum Quadrat ist x Quadrat


25x²
2. binomische Formel, also MINUS einsetzen


9x² –
zwei mal drei ist sechs, mal vier ist 24, x mal z ist xz


9x² – 24xz
2. binomische Formel, also PLUS


9x² – 24xz +
vier zum Quadrat ist 16, z zum Quadrat ist z Quadrat 9x² – 24xz + 16z²