Variante D – Ein Produkt aus Termen mit Variablen (x) steht im Nenner

In den nächsten Beispielen stehen mehrere Terme im Nenner.

Wir müssen für jeden ausrechnen, ob er gleich Null ist.

Hier werden mehrere Zahlen von der Grundmenge ausgeschlossen.


Wenn in einem Bruch mehrere Terme mit Variablen miteinander multipliziert werden, dann darf natürlich keiner der Terme Null werden.

Weil Null mal irgendetwas ist ja immer Null!


Wir haben den Term    \frac{4}{(x-3)(x+2)} 

In diesem Fall dürfen weder (x – 3) noch (x + 2) gleich Null sein.


Warum?

Wenn (x – 3) gleich Null ist, dann steht im Nenner Null mal x plus 2.

Bei 0•(x + 2) ist der Nenner ja gleich Null!

Das soll ja nicht passieren.


Und (x + 2) darf auch nicht gleich Null sein. Sonst steht im Nenner Null mal x minus 3.

Bei 0•(x – 3) ist der Nenner wieder gleich Null.


Also müssen wir hier BEIDE Terme im Nenner berücksichtigen!


Berechnen wir zuerst die Definitionsmenge für den ersten Teil, für (x – 3):

x – 3 = 0 Wir addieren 3 auf beiden Seiten, damit steht das x auf der linken Seite alleine.


x – 3 + 3 = 0 + 3 Vereinfachen


x = 3 Das heißt ich darf jede Lösung für x nehmen, außer wenn x gleich 3 ist.

Weil dann ist der Nenner ja gleich Null.

Das darf nicht sein!


D= \mathbb{R}\{3} Die Definitionsmenge (D) ist also die Menge der reellen Zahlen  \mathbb{R}, ausgenommen der Drei

Und jetzt die Definitionsmenge für den zweiten Term,
für (x + 2):

x + 2 = 0 Wir subtrahieren 2 auf beiden Seiten. Damit steht das x auf der linken Seite alleine.


x + 2 – 2 = 0 – 2 Vereinfachen


x = -2 Das heißt ich darf jede Lösung für x nehmen, außer wenn x gleich minus Zwei (-2) ist.

Weil dann ist der Nenner wieder gleich Null.

Das darf nicht sein!


D =  \mathbb{R}\{-2} Die Definitionsmenge (D) ist also die Menge der reellen Zahlen, ausgenommen der Minus Zwei

Für die ganze Gleichung müssen wir jetzt beide Fälle berücksichtigen.

Wir müssen überlegen:

Was dürfen wir nicht verwenden für (x + 3) und was dürfen wir für (x – 2) nicht verwenden?

Die Antwort lautet: D =  \mathbb{R}\{-2, 3}

Die Definitionsmenge für den Term ist die Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme der minus Zwei und der Drei!