13038 Die Probe

Zur Kontrolle (= Probe) einer Termrechnung setzt man für die Variablen Zahlen ein.

Damit kann man sehen, ob man richtig gerechnet hat.

Für die gleiche Variable muss immer die gleiche Zahl verwendet werden.

Das heißt, wenn ich für a den Wert 3 wähle, muss ich überall, wo a steht, eine 3 einsetzen.

Also bei 3a + 2 – a = rechne ich 3 • 3 + 2 – 3 = 8

Diese Zahlen werden zuerst in den ursprünglichen Term eingesetzt (das ist der Term am Anfang der Rechnung), dann in das Ergebnis.


Hier ist ein Beispiel: 

Wir berechnen den Term (2x – 6)(4x + 1) – (x +2 )(5 – 4x) =

Zuerst werden die beiden ersten Klammern miteinander multipliziert.

Dann die beiden zweiten Klammern.

Dann wird subtrahiert.

Zum Schluss wird vereinfacht und alle gleichen Ausdrücke zusammengerechnet.

(2x – 6)(4x 9) – (x + 2)(5 – 4x) =

Da vor der 3. Und 4. Klammer ein Minus steht, machen wir eine eckige Klammer in der nächsten Zeile, damit wir nicht auf das Minus vergessen!

= 8x² + 2x -24 – 6 – [5x – 4x² + 10 – 8x] =

Jetzt die eckige Klammer auflösen. Weil ein Minus davor steht, ändern sich alle Vorzeichen in der Klammer!

= 8x² + 2x -24 – 6 5x + 4x² 10 + 8x] =

Jetzt zusammenfassen und ordnen (Alphabet / Potenz)

= 12x² – 19 x – 16

Hier müssen wir noch schauen, ob wir einen gemeinsamen Faktor herausheben können. In diesem Fall können wir das nicht!


Jetzt die Probe

Wenn wir richtig gerechnet haben, können wir eine beliebige Zahl (außer Null) für x in die erste und in die letzte Zeile einsetzen.

Wenn wir das ausrechnen, muss die gleiche Zahl dabei herauskommen!

Nehmen wir 3 für x (das ist eine ganz willkürliche Zahl, die ich jetzt bei diesem Beispiel immer für x einsetze).

Überall wo x steht, verwende ich jetzt eine 3.


Probe für die erste Zeile, den Anfangsterm (x = 3):

Hier ist die erste Zeile, mit der wir begonnen haben.

Wir setzen statt x überall 3 ein.

(2x – 6)(4x + 1) – (x +2 )(5 – 4x) =

Wir setzen wieder eine eckige Klammer wegen dem Minus vor der Multiplikation.

= (2 • 3 – 6)(4 • 3 + 1) – [(1 • 3 +2 )(5 – 4 • 3)] =

Ausmultiplizieren

= (6 – 6)(12 + 1) – [(3 +2 )(5 – 12)] =

= 0 • (13) – [(5 )(-7)] =

= 0 – [-35] =

Minus vor der Klammer, das heißt die Vorzeichen in der Klammer ändern sich beim Auflösen!

= 0 + 35 = 35

Wenn wir als die (willkürlich gewählte) Zahl 3 in der ersten Zeile des Terms einsetzen, bekommen wir also 35.

Wir sehen jetzt, ob wir das Gleiche Ergebnis bekommen, wenn wir 3 in die letzte Zeile des Terms (12x² – 19 x – 16) einsetzen.

Wenn ja, dann haben wir richtig gerechnet!


Probe für die letzte Zeile, den Endterm (x = 3):

Jetzt berechnen wir die letzte Zeile der Rechnung, wieder 3 für x einsetzen:

12x² – 19 x – 16 =

= 12 • 3² – 19 • 3  – 16 =

= 12 • 9 – 57  – 16 =

= 108 – 57  – 16 = 35

Wir vergleichen das mit dem Ergebnis der ersten Zeile.

Das Ergebnis ist gleich: 35 = 35.

Das ist eine wahre Aussage (w.A). Wir haben richtig gerechnet!